例谈含参数函数的零点个数问题

摘 要：函数的零点问题是高考常考的内容之一，更是学生的难点。函数零点问题就是对应方程的根的问题，若求函数零点的个数，一般要将函数零点转化为方程的解，再由方程的解转化为两个新函数图像的交点。

关键词：函数的零点；方程的解；图像交点；导数

关于函数零点个数的讨论是高考数学的重要内容之一，函数零点问题就是对应方程的根的问题，若求函数零点的个数，一般要将函数零点转化为方程的解，再由方程的解转化为两个新函数的图像的交点，掌握函数零点个数问题的解决方法，对于解决这类题目有一定的帮助，本文将从一道题（临夏中学高三年级2018～2019学年度第一学期期中考试理科卷21题）出发，给出两种解法，通过分析比较得出最容易掌握的方法。

题目：已知函数f（x）=2a2lnx-x2（a>0）。（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区；（3）讨论函数f（x）在区间（1，e2）上零点的个数（e≈2.718…）。

解法一：（1）略 （2）∵f（x）=2a2lnx-x2（a>0），f′（x）=（2a2-2x2）/x。∵x>0，a>0，∴当0<>0，当x>a时，f′（x）<0，∴f（x）在（0，a）上是增函数，在（a，+∞）上是减函数。

（3）由（2）得f（x）max=f（a）=a2（2lna-1）

①当a2（2lna-1）<0，即0<>

②当a2（2lna-1）=0，即a=e时，函数f（x）在（0，+∞）上有唯一零点，而1<>

③当a2（2lna-1）>0，即a>e时，由于f（1）<0，f（a）>0，f（e2）=（2a-e2）（2a+e2）；当2a-e2<0，即e<><><>e时，f（e）>0，f（1）=-1<0，由函数的单调性知，f（x）在（1，e）内有唯一的一个零点，在（e，e2）内没有零点，从而f（x）在（1，e2）内只有一个零点。

综上所述，当o<><>

解法二：（1）（2）略 （3）求函数f（x）在（1，e2）上零点个数求方程f（x）=0（2a2lnx-x2=0）在（1，e2）上根的个数求函数y=2a2（a>0）与y=x2/lnx图像交点的问题。

令g（x）=x2/lnx，则g′（x）=x（2lnx-1）/（lnx）2，令g′（x）=0，得x=e。

当x→1时，lnx→0，g（x）=x2/lnx→+∞；当x=e2时，g（e2）=e4/2；当x=e时，g（e）=2e，

x（1，e）e（e，e2）

g′（x）-0+

g（x）极小值

当2a2=2e或2a2≥e4/2时，函数y=2a2（a>0）与y=x2/lnx图像有1个交点；当2a2∈（2e，e4/2）时，函数y=2a2（a>0）与y=x2/lnx的图像有2个交点；当2a2∈（0，2e）时，函数y=2a2（a>0）与y=x2/lnx的图像有0个交点；

综上所述，当a=e或a∈[e2/2，+∞）时，函数y=2a2lnx-x2有1个零点；当a∈（e，e2/2）時，函数y=2a2lnx-x2有2个零点；当a∈（0，e）时，函数y=2a2lnx-x2无零点。

解法二的解题回顾

1. 转化的思想。解法二将求函数零点的问题转化为求方程根的问题，进而转化为一个常函数与一个不含参数的函数图像的交点问题，接下来的解题过程就变成画函数图像的问题。

2. 在画函数g（x）图像时，在考虑开区间的端点处时用了逼近的思想。

3. 数形结合，直观判断。根据参数范围确定两个函数图像的交点个数，进而确定函数的零点个数。

比较分析

本文中的题目，解法一和解法二都用了导数来研究图像，都用了数形结合的思想，不同在于，解法一研究的是原函数图像，而原函数解析式含有参数，故需对参数a进行分类讨论，再次对极大值进行分类讨论，分类过程中还要对端点进行分类，对于学生来说，难度是超高难度。本文给出的解法二，将求函数零点的问题转化为求方程的根的问题，进而转化为一个常函数与一个不含参数的函数图像的交点问题，接下来的解题过程就变成画函数图像的问题了，是一道中等难度的题，所以易看到解法二在很大程度上降低了这道题的难度。

解法二中，在画函数g（x）图像时，用了逼近的思想，虽然极限是高中的超纲内容，但是罗增儒教授在《高考数学万能解题法》一书中，提到对于学有余力的同学，应把课程标准和考试大纲作为学习的最低要求，而超越课程标准和考试大纲是一个理性的选择。著名教育家B.A.苏霍姆林斯基曾经指出：“如果教师引导最有才能的学生超出教学大纲的范围，那么集体的智力生活就会变得丰富多彩，从而影响最差的学生也不敢落后。”

高考解题需要我们迅速解决“从何处下手，向何方前进”这两个基本问题，临场上的思维策略因时间的限制主要靠模式识别，而解法二恰是解决函数零点个数最常规的思维模式。

结束语

本文给出的解法二是在常规的思维模式下，结合逼近的极限思想画图，数形结合，对题目展开，通过解法一和解法二的比较分析，易得解法二在很大程度上降低了这道题的难度，不但解决了这个问题，而且更有助于培养学生的解题能力。

参考文献：

[1]中学数学教材实验研究组.普通高中课程标准试验教科书[M].北京：人民教育出版社，2008.

[2]何方顺.例谈函数零点问题[J].基础教育论坛，2012（4）：34.

[3]罗增儒，孟祥礼.高考数学万能解题法[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2015.

作者简介：

侯斐斐，甘肃省临夏回族自治州，甘肃临夏中学。

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